webové stránky vědy a techniky

těžká matematika

15. 4. 2008

Analýza

$π$ se objevuje ve vzorcích pro součty nekonečných řad, integrálech atd.

Leibnizova řada

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi}{4}$

Chybová funkce

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$

Basilejský problém (viz též Riemannova zeta funkce)

$\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$

$\zeta(4) = \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}$

Obecně, ζ(2n) je racionálním násobkem

π

²ⁿ pro libovolné n celé kladné.

Hodnota funkce gama v 1/2:

$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$

Stirlingův vzorec

$n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$

Eulerova rovnost (Richardem Feynmanem označená za „nejpozoruhodnější matematický vzorec“)

$e^{\pi i} + 1 = 0\,\!$

Eulerova funkce fí:

$\sum_{k=0}^{n} \phi (k) \sim 3 \left(\frac{n}{\pi}\right)^2$

Plocha čtvrtiny jednotkového kruhu:

$\int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^2}\,dx = \frac{\pi}{4}$

Řetězové zlomky

Číslo $π$ lze pomocí řetězových zlomků vyjádřit mnoha způsoby. Mezi nimi například:

$\pi = 3 + \frac{1}{6 + \frac{9}{6 + \frac{25}{6 + \frac{49}{6 + \frac{81}{6 + \ldots}}}}}$

$\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \ldots}}}}}$

Teorie čísel

Pravděpodobnost, že dvě náhodně zvolená celá čísla jsou nesoudělná, je $\frac{6}{\pi^2}$ .

Pravděpodobnost a statistika

V rovnicích popisujících mnohá rozdělení se vyskytuje číslo $π$ , například:

Hustota pravděpodobnosti u normálního rozdělení se střední hodnotou μ a směrodatnou odchylkou σ:

$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}$

Hustota pravděpodobnosti u Cauchyova rozdělení:

$f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}$

Se znalostí faktu, že pro libovolnou hustotu pravděpodobnosti platí, že $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$ , lze z předchozích vzorců odvodit další vzorce pro výpočet čísla $π$ .

Fyzika

Princip neurčitosti:

$\Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4 \pi}$

Einsteinova rovnice z obecné teorie relativity:

$R_{ik} - \frac{g_{ik} R}{2} + \Lambda g_{ik} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{ik}$

Coulombův zákon elektrické síly:

$F = \frac{\left|Q_1 Q_2\right|}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$

Přítomnost čísla $π$ v těchto vzorcích je ovšem pouze důsledek volby fyzikálních jednotek, je to tedy pouhá konvence. Vyjádříme-li totéž v tzv. přirozené soustavě jednotek, většina číselných konstant ze vzorců zmizí, aniž by se změnil fyzikální význam.

Přibližné hodnoty

V praktických výpočtech obvykle stačí jen hrubé přiblížení hodnoty $π$ pomocí několika prvních číslic desetinného rozvoje nebo jednoduchým zlomkem. Nejčastěji jsou používány zlomky 22/7 (tři platné číslice) nebo 355/113 (7 platných číslic). Další zlomky ještě přesněji aproximující číslo $π$ lze určit pomocí jeho zápisu řetězovým zlomkem.

Empirické určení hodnoty $π$

Zajímavý způsob přibližného určení hodnoty čísla $π$ poskytuje Buffonův problém: Na desce jsou rovnoběžně nakresleny přímky, vzdálené mezi sebou S jednotek. Pokud se jehla o délce L jednotek (L < S) nechá n-krát náhodně dopadnout na tuto desku a při x z těchto n pokusů jehla dopadne tak, že překříží nějakou čáru (x > 0), pak pro velké n bude přibližně platit $\pi \approx \frac{2 n L}{x S}$

Výpočet $π$ programem bc

V libovolně přesném kalkulátoru bc, obsaženém v unixových operačních systémech, můžeme číslo $π$ vypočítat jako čtyřnásobek hodnoty arctg(1) takto (v tomto příkladu s přesností na 30 desetinných míst):

$ echo 'scale=30; 4*a(1)' | bc -l
3.141592653589793238462643383276

Takto získaný výsledek většinou obsahuje chybu na poslední číslici (v uvedeném příkladu je na 30. desetinném místě šestka, v přesnějším vyjádření je devítka).

Zápis $π$ v desítkové soustavě

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
  5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 
  8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 
  4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 
  4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 
  4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 
  7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 
  7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 
  3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 
  0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 
  9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
  6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 
  0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 
  1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
  4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960
  5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
  5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 
  7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
  5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778
  1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201...

Memorování číslic

Rekord v memorování číslic čísla $π$ je 100 000 desetinných míst (3. října 2006, Akira Haraguchi).

Je více způsobů, jak si zapamatovat co nejvíce míst desetinného rozvoje $π$ .

Poměrně známé jsou mnemotechnické pomůcky pro zapamatování si čísla pí (pomocí počtu písmen ve slově): Sám u sebe v hlavě magického pí číslic deset mám. (9 za desetinnou čárkou); Lín a kapr u hráze prohlídli si rybáře, udici měl novou, jikrnáči neuplovou. (12 za desetinnou čárkou); Mám ó bože ó velký pamatovat si takový cifer řád, velký slovutný Archimedes, pomáhej trápenému, dej mu moc, nazpaměť nechť odříká ty slavné sice, ale tak protivné nám, ach, číslice Ludolfovy! (30 číslic za desetinnou čárkou).

Dalším zajímavým způsobem jsou takzvané piemy – básně, které reprezentují $π$ tím způsobem, že délka každého slova reprezentuje jednu číslici. Kupříkladu báseň Cadaeic Cadenza [1] reprezentuje prvních 3834 číslic.

Komentáře

Přehled komentářů

Matematika

(Terezie, 9. 7. 2024 16:27)

Ahoj všichni když jsem ve škole
tak mi nejde matematika a geometrie a plavání a občanská
výchova.

Odpovědět

Re: Matematika

(Terezie, 9. 7. 2024 16:30)

Kolik je 12345: 2 ?

Odpovědět

oprava

(P3E1, 15. 11. 2009 14:57)

správně má být 3,1415.../2 = (2:1)...

Odpovědět

řešení poloviny pí

(P3E1, 15. 11. 2009 14:56)

3,1415.../2 = 2.(2:1).(2:3).(4:3).(4:5).(6:5)...
3,1415.../2 = 4.(8:9).(24:25).(48:49).(80:81)...

Odpovědět

Menu

těžká matematika

Analýza

Řetězové zlomky

Teorie čísel

Pravděpodobnost a statistika

Fyzika

Přibližné hodnoty

Empirické určení hodnoty $π$

Výpočet $π$ programem bc

Zápis $π$ v desítkové soustavě

Memorování číslic

Komentáře

Přehled komentářů

Matematika

Re: Matematika

oprava

řešení poloviny pí

Vyhledávání

Archiv

Menu

webové stránky vědy a techniky

těžká matematika

Analýza

Řetězové zlomky

Teorie čísel

Pravděpodobnost a statistika

Fyzika

Přibližné hodnoty

Empirické určení hodnoty π

Výpočet π programem bc

Zápis π v desítkové soustavě

Memorování číslic

Komentáře

Přehled komentářů

Matematika

Re: Matematika

oprava

řešení poloviny pí

Vyhledávání

Archiv

Empirické určení hodnoty $π$

Výpočet $π$ programem bc

Zápis $π$ v desítkové soustavě